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激發培養創新潛能的方法和策略
激發培養創新潛能的方法和策略
新課程改革強調學生不再是課程教學的工具，而是課程的主動學習者、發展者，是課程學習的主人。新課程要求教師打破以往按統一模式塑造學生的傳統做法，關注每一個學生的特殊性，創設能引導學生主動參與的教育環境，激發學生的學習積極性，要求教師采取有效的方式或手段，把沉睡在每個學生身上的潛能喚醒起來，激活起來，這一切，為教師的發揮提供了寬廣的舞臺。同時新課程標準下的教師不再是單純地傳授知識，而是幫助學生吸收、選擇和整理信息、知識，在課堂上，千篇一律的死板講授已不再為學生們所接受，代之而行的是主持和開展種種認知性學習活動，師生共同參與探討豐富多彩的知識世界。
在新課程的背景下，數學課堂教學應使學生真正成為獲取知識的主人，以學生為主體，喚醒學生的主體意識，發展學生的主體能力，塑造學生良好健康的主體人格，充分培養和提高學生的自主性、能動性和創造性，因此我們的教學不應再是教師單純地采用“滿堂灌”、“一言堂”、“填鴨式”等等的不良教法模式去傳授知識，而應是實施凸顯學生的主體地位，充分發揮學生的主體作用，創造機會，教給學生主動學習的能力，培養學生主動進取的意識，著眼于學生的終身發展，培養激發創新潛能，以適應新課改要求的教學，只有這樣，才能培養出適應當今社會發展需要的人才，這是當前新課改的理念要求，是一個值得研究的問題，現結合自己的教學實踐作初步探討。
一、創設機會主體參與，求知歷程激發創新
在教學中發揮學生的主體作用，可大膽讓學生參與到探究知識形成過程之中，創造機會，留給學生。讓學生在求知歷程中逐漸掌握學習的方法，讓學生互相探究，互相討論，不但使他們能知其然，知其所以然，而且要掌握其所以然。例如，在講授“直線方程”內容時，由于學生已學習了“直線的傾斜角”和“斜率”的定義，先復習完定義后，我只講直線的點斜式方程，讓學生推導其它的四種直線方程形式，并把全班分成四組，每組派一個代表上臺推導一種直線方程的形式，看誰快。由于有挑戰，學生們熱情高漲、積極地投入到對問題的探究之中，經過學生的主體參與，既使學生掌握四種直線方程形式的推導方法，對知識發生過程印象更深，又使本來的截距問題這一難點問題也解決了，而且有一個學生還推出了另一種直線方程的形式——參數式，體現了創新的思維能力，這種教法提高了學生對知識探求的興趣，發揮了學生學習的主體作用，激發了創新的潛能。
二、引導學生勤于思考，擷取規律源自創新
創新的前提是理解，創新的理念來自勤奮的思考。我們知道，數學知識往往以概念、性質、定理或公式及其推導過程呈現出來。對性質、定理和公式少不了要進行嚴密的邏輯推理論證，完成這些論證需要一個思維萌動、展開、收放的過程。為此，我們首先必須讓學生對推理過程充分理解。因為數學知識的獲得主要依賴緊張思維活動后的理解，只有透徹的理解才能融入其認知結構。這就需要擯棄過去那種單靠教師在課堂上包辦數學結論的推導過程的教法，而是要引導學生積極參與到求知的歷程之中，不致使學生養成只會死記硬背結論，然后套用這些結論或機械地模仿某種模式去解題的壞習慣，而是要做到使學生去努力獲取結論，擷取規律。需要引導學生勤于思考，培養創新理念，對知識和方法要多問幾個為什么？如：為什么要導出這個性質？這個性質、定理或公式有什么功能？如何應用？勤于思考的表現還在干對認知過程的不斷反思、回顧，對結論性質要善于總結、推廣、拓展，從中獲得規律，因為規律的擷取往往源自于勇于創新的精神，源自敢于打破常規的魄力。如讓學生記住：
性質1：過拋物線y?2px的焦點F作一直線l與拋物線交于兩點A(x1,y1)、2
B(x2,y2)，則y1y2??p2，x1x2?12p. 4
不能過于生硬，教師也不必將證明過程和盤托出，可先用：
思考題：過拋物線y2?2x的焦點F作一直線l與拋物線交于兩點A(x1,y1)、
00當l的傾斜角分別為45、60時，A、B兩點的縱坐標之積y1y2有何變化嗎？ B(x2,y2)，
讓學生們通過探究，推出結論。他們經過推算，發現y1y2都等于?1，都為定值。教師提問：這是巧合嗎？那么是否不管直線l的傾斜角如何變化，總有y1y2??1嗎？
把學生分成兩大組，第1組把傾斜角改為???0,??；第2組把y2?2x改為y2?2px；第1組的運算結果為y1y2??1；第2組的運算結果為y1y2??p2；發現仍等于定值。再總結出性質1，學生就會記得更加牢固。
再把問題改為：過定點M(a,0)(a?0)的直線l與拋物線y2?2px(p?0)交于兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)，問A、B兩點的縱坐標之積y1y2為定值嗎？讓學生自由探究、再由教師啟發可得到：
性質2：過定點M(a,0)(a?0)的直線l與拋物線y2?2px(p?0)交于兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y1y2??2ap，x1x2?a2.
鼓勵學生推廣性質，尋求得出新的結論、性質，有學生發現x1x2?a2，即x1、a、x2成等比數列，于是順手牽羊得到：
性質3：若過拋物線y?2px(p?0)焦點弦的兩端點A、B作x軸的垂線，垂足各為2
P、Q，焦點為F，則OP、OF、OQ成等比數列.
這個性質的發現是創新理念的初步萌發，教師乘機鼓勵他們發揚創新創造、總結知識規律的精神，學生們的思維一經激發，又一發而不可收，把焦點弦改為任意弦，得：
性質4：若拋物線y?2px(p?0)的任意弦AB兩端點為A(x1,y1)、B(x2,y2)，且直線AB與x軸交于M(x3,0)，則x1、x3、x2成等比數列.
還可把拋物線的對稱軸改為y軸，又可以得到：
性質5：過拋物線對稱軸上的任一點M作直線l與拋物線交于兩點A(x1,y1)、2B(x2,y2)，則弦AB的兩端點橫（縱）坐標之積為定值.
這些性質的推導、推廣，就是創新理念的萌發、培養與激發，這需用教師善于引導學生勤于思考、品嘗更豐富的知識大餐，真正使教學處于一種“授生以漁”，而不是“授生以魚”的生動活潑的境界。
三、低起點躍多層次，高要求中促創新
心理學家認為，學生之間的差異幾乎是絕對的，因而教師必須依據所教班級學生的實際情況，因材施教，在教學中采用低起點、多層次，高要求的做法，使知識的發生、發展規律
與學生的認知結構有機的結合起來，讓各層次的學生主體參與，在課堂內均學有所得，智力盡量得到發展。例如，在求參數取值范圍的復習中，筆者選用以下兩例：
問題1：已知方程2x2?(6m?1)x?3(3m?1)?0有實根，求實數m的取值范圍？ 問題2：已知方程2sin2x?(6m?1)sinx?3(3m?1)?0有實根，求實數m的取值范圍？
問題1給出后，基礎差的學生也能將其輕松解決，因為由?≥0極易求得m的取值范圍，這給他們一種勞有所獲的心理快感和精神上的獎賞。
問題2給出后，基礎差的學生仍然由?≥0求得m的取值范圍，則錯了。這是草率之舉，但不能責怪他們，教師細心幫其分析錯因：由于?1≤sinx≤1，故?≥0不能確保方程的解在區間??1,1?內，即?≥0只是方程有實根的必要非充分條件！
要將參數m的取值范圍求出并非舉手之勞那么容易，如何讓各層次的學生能主體參與，特別是讓基礎差的學生繼續保持學習的熱情、在探索該題上共同謀求發展思維能力呢？我采用如下方法：
1、低起點，助成功
讓基礎差的學生觀察方程特點，利用求根公式試試看，一會兒，他們做出來了： 解法1：令t?sinx，則?1≤t≤1，方程可化為2t2?(6m?1)t?3(3m?1)?0， 6m?1?(6m?5)23由求根公式得t?，則由?1≤t≤1，得?1≤?3m?1或（舍去）24
3m?1≤1，
2故0≤m≤為所求m的取值范圍. 3
2、多層次，益交流
上述問題2有沒有其它解法呢？學生們各抒己見，課堂上涌動著一股強勁的探索熱流，優生發現了：
2解法2：令t?sinx，則?1≤t≤1，方程化為2t?(6m?1)t?3(3m?1)?0，利用
一元二次方程區間根的分布規律，分方程在??1,1?上有兩解或有且僅有一解這兩種情況去求解.
2解法3：方程化為(9?6sinx)m?3?sinx?2sinx，∵9?6sinx?0，利用參數分
離法得
1?sinx3?sinx?2sin2xm?，觀察到分子分母可分解因式，約簡得m?，利用三角函39?6sinx
數有界性求解.
inx?解法4：方程可化為(sinx?1?3m)(2sinx?3)?0，∵s3inx?3m?1，，則s2
解法同上.
這表明由于學生在小組的交流中不斷獲益，思維向多層次邁進了。還有沒有其它解法
呢？再鼓勵他們尋找創新的解法。
3、高要求，促創新
由于學生的主體作用的充分發揮，極大地調動思維的積極性，有學生發現了別出心裁的創新解法——導數法，我讓他上臺板演解法：
3?t?2t2
解法5：令t?sinx（?1≤t≤1），則m?，對m求導得：9?6t
3?t?2t23(2t?3)21的增區間， m???0，∵?1≤t≤1，∴??1,1?為函數m?29?6t3(9?6t)'
23?1?2?1223?(?1)?2(?1)2
?，即0≤m≤為所求m的取值范則0?≤m≤39?6?139?6(?1)
圍.
解法5運用導數法，求出函數的單調區間，從而求出函數的值域，這是一種創新解法，學生們通過比較，認為解法2太麻煩，得分類討論；解法4最快捷，解法5則令人值得回味。
我順勢提出一道較難又易錯的題目，讓學生接受高強度的考驗與挑戰：
問題3：設x?[0,?]，若方程cos2x?4asinx?a?2?0有兩個不同的解，求實數a的取值范圍？
學生們摩拳擦掌，躍躍欲試，部分學生開始都采用求含參數二次方程根的分布問題的方法，把方程轉化為函數，用分類討論思想，考慮二次函數的圖象與x軸的交點的位置關系，但對于區間端點值的取值情況，就不能準確把握了，結果出現如下錯解：
2x，則方程錯解： 原方程可化為2sinx?4asinx?1?a?0，令t?sin
22t2?4at?1?a?0在區間?0,1?內有一解，又令f(t)?2t?4at?1?a，即方程f(t)?0
在區間?0,1?內有一解，則：
???16a2?8(1?a)?0130a?f(0)f(1)≤，解得或≤a≤1為所求實數a的或?25?0?a?1
取值范圍.
這究竟錯在哪里呢？
錯因剖析：錯解中有兩處常見錯誤，首先對于t?sinx，當t??0,1?時，原方程在區間?0,??內有兩個不同的解x1?arcsint,x2???arcsint，但當t?1時，原方程僅有一解x??
2；其次f(0)f(1)≤0包含下面三種情況：
1、f(0)f(1)＜0，此時方程f(t)?0在區間(0,1)內有且只有一個解；
2、f(0)?0，此時方程f(t)?0在區間?0,1?內至少有一解t?0.又必須分當①t?0或
t??0,1?；②t?0或t?1；③t?0或t??0,1?時這三種情況，原方程的解各有2、3、4個；
3、f(1)?0，此時方程f(t)?0在區間?0,1?內至少有一解t?1.同樣必須分當①有一解t?1，另一解t?http://http://www.solarmaxlimited.com/news/559B8F1A10DEB51B.html?0,1?（此時a?
程的解各有3、1個.
綜上可知a的取值必需有所取舍，錯解中a的取值范圍應舍棄31,t?1,)；②t?1或t??0,1?時這兩種情況，原方553才正確，學生們終于明5
白了錯因，而采用導數法的學生大大地避免了分類討論的麻煩，避免前面的錯誤，成功率就高得多了。正確解法如下：
2解：令t?sinx(0≤t≤1)，則原方程可化為2t?4at?1?a?0， (4t?1)a?2t2?1，
2t2?12t2?14(2t2?t?1)''∵4t?1≥1，∴a?. 令f(t)?a?，則a?f(t)?. 分別24t?14t?1(4t?1)
''令f(t)＞0與f(t)＜0并結合0≤t≤1，求得f(t)的増區間為??1?,1?，減區間為2??
113?1?a?f()?f(1)?，則最小值，最大值，區間端點值，∵0,a?f(0)?1?minmax?225?2?
原方程有兩個不同的解，且函數f(t)的圖象在區間?0,1?內是連續的一段曲線，故應除去一個f(t)值對應兩個t值的情況，因而a的取值范圍為a?13或＜a≤1. 25
誠然，解題教學如能做到教師精講，學生多練，而不是老師滔滔不絕地講解，讓他們主體參與，施展拳腳，發現解法，創新潛能和解題能力就會到挖掘發揮和提高。
由于教學中凸顯了學生的主體地位，這種歡欣寬松、鼓勵上進的教學氣氛能激奮學生積極參加，從而讓每一個學生多一種機會、多一份感悟、多一些信心去參與探究活動，使學生在低起點、多層次，高要求的教學氛圍中，基礎差的學生能獲得成功，品嘗成功的歡愉；而優生則贏得更多思考的時間，獲得巧妙的創新解法，使不同層次的學生都能“奮力一跳，桃子摘到”，感受努力的價值，使自己真正成為學習數學的主人，而不是被“拋棄者”與“奴役者”，從而信心大增，激發了創新潛能，教學效果也就不言而喻。
四、題組訓練施展拳腳，創新潛能挖掘發揮
創新的能力可通過解題來訓練，在解題教學時，可設置題組進行解題訓練，要改變傳統的解題訓練繁雜重復的做法，力求精練精講，一題多解，多題同模；要加強解題的目的性、解法的創新性、思路的創造性，讓學生在題組的解題訓練中施展才華，挖掘創新能力，解題訓練要有坡度和難度。如果解題訓練有一個坡度，可以使學生循序漸進從易到難，完成一個小題，相當上了一個臺階，完成了最后一題，好像登上了山頂，回首俯望，小山連綿，喜悅之心，不禁而生。如果題組沒有難度，學生不可能有疑，重復會令人乏味。反之，設置一定陷阱、難度，學生經過探索、推敲，把疑難解決了，既鞏固了基礎，又實現了從有疑到無疑的飛躍，體驗到解題的勞動價值。在均值不等式公式的教學中，我設置如下題組：
221、設a、b?R，且a?b?2，分別求⑴ab；⑵a?b的取值范圍. ?
2、設a、b?R，且a?b?1，分別求⑴ab?
33?11122；⑵ab?；⑶ab?22；ababab⑷ab?1的取值范圍. a3b3
11≥2、ab?≥2等等，提示學生：由abab讓學生施展解題的功夫，題組1容易解決，而對于題組2，學生們則往往會陷入一個可怕的陷阱：利用均值不等式公式，得ab?
于ab的取值范圍為0?ab≤11，所以ab?≥2不能取得等號！應利用重要的函數4ab
f(x)?x?1111在區間?0,1?上單調遞減的性質，求得⑴ab?≥4：⑵ab?≥xab4ab
111112；⑶a2b2?22≥16；⑷a3b3?33≥64. 264ab16ab
再讓學生深入觀察、探究題組2結論的特點，看看結論有沒有帶規律性的東西可以總結。通過小組開展討論、學生發言、分組比賽、上臺板演等方式，鼓勵學生探求規律，推廣得到：
?結論：設a、b?R，且a?b?1，??R，則(ab)??11?4?≥. ??4(ab)
設計這種題組的解題訓練使學生的主體意識得到了張揚，主體作用得到了發揮，創新潛力、創造能力得到更好地挖掘培養，使學生體味到成功的愉悅。
五、新知舊知載體依托，創新理念滲透蘊涵
在引入新知識時，要根據教學目標和教學內容，與舊知識有機聯系起來，尋找恰當的載體，作為施教的依托，在課堂中使學生產生明顯的意識傾向和情感共鳴，將培養學生的創新意識和能力理念滲透其中。
如在講授復數概念時，可講到正是十五世紀數學家遇到在生產實際運用中，碰到一個數的平方為負數，以為出錯，因為數不夠用啦，才導致了一類新數——復數的產生，這本身就是一種創新理念的體現，這說明學貴有疑是學習進步的標志，也是創新的開始，宋代有一位教育家說過：“讀書無疑者，須教有疑。有疑者卻要無疑，到這里方是長進。”，還可以告訴學生學習復數的作用：飛機機翼的美觀安全與復雜的復數方程有關！以增強對學習數學是有用的認識。
總之，在數學課堂教學中凸顯學生的主體地位，發揮學生的主體作用，營造出開放的、適合主體發展需要的教學氛圍，將培養學生的創新意識、能力和理念滲透在和諧、寬松、民主而又活躍的教學情景之中，激發學生的創新潛能，著眼于學生的終身發展，才能培養出具有創新理念、意識、能力的高素質人才。
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