函數法證明不等式

函數法證明不等式

已知函數f(x)=x-sinx,數列{an}滿足0

<1> 證明 0

<2>證明an+1<(1/6)×(an)^3

它提示是構造一個函數然后做差求導，確定單調性。可是還是一點思路都沒有，各位能不能給出具體一點的解答過程啊?

(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx

00,f(x)是增函數,f(0)

因為0

且an+1=an-sinan

(2)求證不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①

構造函數g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0

g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)單增,g'(x)>g'(0)=0

所以g(x)單增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立

因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。

證畢!

構造分式函數，利用分式函數的單調性證明不等式

【例1】證明不等式：≥ (人教版教材P23T4)

證明：構造函數f(x)= (x≥0)

則f(x)==1-在上單調遞增

∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|

∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所證不等式正確。

點評：本題還可以繼續推廣。如：求證：≥。利用分式函數的單調性可以證明的教材中的習題還有很多，如：

P14第14題：已知c>a>b>0,求證:

P19第9題: 已知三角形三邊的長是a，b，c，且m是正數，求證：

P12例題2:已知a，b，m，都是正數，且a 二、利用分式函數的奇偶性證明不等式

【例2】證明不等式：(x≠0)

證明：構造函數f(x)=

∵f(-x)=

=f(x)

∴f(x)是偶函數，其圖像關于y軸對稱。

當x>0時，<0，f(x)<0;

當x<0時，-x>0,故f(x)=f(-x)<0

∴<0，即

三、構造一次函數，利用一次函數的單調性證明不等式

【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：a + b + c 證明：構造函數f(c)=(1-ab)c + a + b-2

∵|a|<1，|b|<1

∴-10

∴f(c)的(-1，1)上是增函數

∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + b–ab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0

∴f(1)<0，即(1-ab)c + a + b-2<0

∴a + b + c 。

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