用向量法證明

用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟3.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

2

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c

平方 (1)

向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d

平方 (2)

(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于P點

由三角形中位線定理有：

向量EP=向量BG

又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)

∴向量PF=(向量AD+向量GC)

∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

4

先假設兩條中線AD,BE交與P點

連接CP,取AB中點F連接PF

PA+PC=2PE=BP

PB+PC=2PD=AP

PA+PB=2PF

三式相加

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF

3PA+3PB+2PC=2PF

6PF+2PC=2PF

PC=-2PF

所以PC,PF共線，PF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點P

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=OP+PD

OE=OP+PE

OF=OP+PF

OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP

由第一問結論

2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP

2PA+2PB+2PC=0

1/2AP+1/2BP+1/2CP

所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP

向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

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