構造法證明不等式

構造法證明不等式

由于證明不等式沒有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強，使得不等式證明成為中學數學的難點之一.下面通過數例介紹構造法在證明不等式中的應用.

一、構造一次函數法證明不等式

有些不等式可以和一次函數建立直接聯系，通過構造一次函數式，利用一次函數的有關特性，完成不等式的證明.

例1 設0≤a、b、c≤2，求證：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

證明：視a為自變量，構造一次函數

= 4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca = (bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，

由0≤a≤2，知表示一條線段.又= b+c-2bc = (b-c)≥0，

= b+c-4b-4c+8 = (b-2)+(c-2)≥0，

可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

二、構造二次函數法證明不等式

對一些不等式證明的題目，若能巧妙構造一元二次函數，利用二次函數的有關特性，可以簡潔地完成不等式證明.

例2 實數a、b、c滿足( a+c)( a+b+c)<0，求證：( b-c )>4a( a+b+c).

證明：由已知得a = 0時，b≠c，否則與( a+c)( a+b+c)<0矛盾，

故a = 0時，( b-c )>4a( a+b+c)成立.

當a≠0時，構造二次函數= ax+( b-c )x+( a+b+c)，則有

= a+b+c，= 2(a+c)，而·= 2( a+c)( a+b+c)<0，

∴存在m，當-1

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