數學悖論

數學悖論

數學悖論

數學悖論(數學悖論)

悖論是一種認識矛盾，它既包括邏輯矛盾、語義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 數學悖論作為悖論的一種，主要發生在數學研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數學悖論，是指數學領域中既有數學規范中發生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數學規范中得到解決。

“……古往今來，為數眾多的悖論為邏輯思想的發展提供了食糧。” ——N·布爾巴基 悖論的歷史源遠流長，它的起源可以一直追溯到古希臘和中國先秦時代。“悖論”一詞源于希臘文，意為“無路可走”，轉義是“四處碰壁，無法解決問題”。 在古希臘時代，克里特島的哲學家埃庇米尼得斯（約公元前6世紀）發現的“說謊者悖論”可以算作人們最早發現的悖論。公元前4世紀的歐布里德將其修改為“強化了的撒謊者悖論”。在此基礎上，人們構造了一個與之等價的“永恒的撒謊者悖論”。埃利亞學派的代表人物芝諾（約490B.C.—430B.C.）提出的有關運動的四個悖論（二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動悖論與運動場悖論）尤為著名，至今仍余波未息。 在中國古代哲學中也有許多悖論思想，如戰國時期邏輯學家惠施（約370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；《韓非子》中記載的有關矛與盾的悖論思想等，這些悖論式的命題，表面上看起來很荒謬，實際上卻潛伏著某些辯證的思想內容。 在近代，著名的悖論有伽利略悖論、貝克萊悖論、康德的二律背反、集合論悖論等。在現代，則有光速悖論、雙生子佯謬、EPR悖論、整體性悖論等。這些悖論從邏輯上看來都是一些思維矛盾，從認識論上看則是客觀矛盾在思維上的反映。 盡管悖論的歷史如此悠久，但直到本世紀初，人們才真正開始專門研究悖論的本質。在此之前，悖論只能引起人們的驚恐與不安；此后，人們才逐漸認識到悖論也有其積極作用。特別是本世紀60、70年代以來，出現了研究悖論的熱潮。

悖論的定義有很多說法，影響較大的有以下幾種，如“悖論是指這樣一個命題A,由A出發可以找到一語句B，然后，若假定B真，就可推出~B真,亦即可推出B假。若假定~B真，即B假，又可推導出B真”。又如“悖論是一種導致邏輯矛盾的命題，這種命題，如果承認它是真的，那么它又是假的；如果承認它是假的，那么它又是真的。”再如“如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個理論中卻推出了兩個互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個復合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式，那么，我們就說這個理論包含了一個悖論。” 上述各種悖論定義，都有其合理的一面，但又都不十分令人滿意。從潛科學的觀點來看，悖論是一種在已有科學規范中無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的科學規范中得到克服，這是悖論的廣義定義。 悖論有其存在的客觀性和必然性，它是科學理論演進中的必然產物，在科學發展史上經常出現，普遍存在于各門科學之中。不僅在語義學、形式邏輯和數理邏輯等領域出現悖論，而且在物理學、天文學、系統論和哲學等領域也經常出現悖論。 悖論是一種認識矛盾，它既包括邏輯矛盾、語義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 悖論常常以邏輯推理為手段，深入到原理論的根基之中，尖銳地揭露出該理論體系中潛藏著的無法回避的.矛盾，所以它的出現必然導致現存理論體系的危機。科學危機的產生，往往是科學革命的前兆和強大杠桿，是科學認識飛躍的關節點和開始進入新階段的重要標志。 我國著名數學家徐利治教授指出：“產生悖論的根本原因，無非是人的認識與客觀實際以及認識客觀世界的方法與客觀規律的矛盾，這種直接和間接的矛盾在一點上的集中表現就是悖論。”所謂主客觀矛盾在某一點上的集中表現，是指由于客觀事物的發展造成了原來的認識無法解釋新現實，因而要求看問題的思想方法發生轉換，于是在新舊兩種思想方法轉換的關節點上，思維矛盾特別尖銳，就以悖論的形式表現出來。

數學悖論作為悖論的一種，主要發生在數學研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數學悖論，是指數學領域中既有數學規范中發生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數學規范中得到解決。數學中有許多著名的悖論，除前面提到的伽利略悖論、貝克萊悖論外，還有康托爾最大基數悖論、布拉里——福蒂最大序數悖論、理查德悖論、基礎集合悖論、希帕索斯悖論等。數學史上的危機，指數學發展中危及整個理論體系的邏輯基礎的根本矛盾。這種根本性矛盾能夠暴露一定發展階段上數學體系邏輯基礎的局限性，促使人們克服這種局限性，從而促使數學的大發展。數學史上的三次危機都是由數學悖論引起的，下面作以簡要的分析。

起因

畢達哥拉斯學派主張“數”是萬物的本原、始基，而宇宙中一切現象都可歸結為整數或整數之比。在希帕索斯悖論發現之前，人們僅認識到自然數和有理數，有理數理論成為占統治地位的數學規范，希帕索斯發現的無理數，暴露了原有數學規范的局限性。由此看來，希帕索斯悖論是由于主觀認識上的錯誤而造成的。

經過

公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的成員希帕索斯（470B.C.前后）發現：等腰直角三角形斜邊與一直角邊是不可公度的，它們的比不能歸結為整數或整數之比。這一發現不僅嚴重觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，同時也沖擊了當時希臘人的普遍見解，因此在當時它就直接導致了認識上的“危機”。希帕索斯的這一發現，史稱“希帕索斯悖論”，從而觸發了第一次數學危機。

影響

希帕索斯的發現，促使人們進一步去認識和理解無理數。但是，基于生產和科學技術的發展水平，畢達哥拉斯學派及以后的古希臘的數學家們沒有也不可能建立嚴格的無理數理論，他們對無理數的問題基本上采取了回避的態度，放棄對數的算術處理，代之以幾何處理，從而開始了幾何優先發展的時期，在此后兩千年間，希臘的幾何學幾乎成了全部數學的基礎。當然，這種將整個數學捆綁在幾何上的狹隘作法，對數學的發展也產生了不利的影響。 希帕索斯的發現，說明直覺和經驗不一定靠得住，而推理和證明才是可靠的，這就導致了亞里士多德的邏輯體系和歐幾里德幾何體系的建立。

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