在理解算理的基礎上構建算法

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在理解算理的基礎上構建算法

南京東方數學教育科學研究所侯正海

《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》在"知識與技能"的目標中明確要求學生"掌握數與代數的基礎知識和基本技能"。計算技能作為一種數學心智技能，其掌握并不是自然的，需要通過有效的學習才能獲得。但計算教學又不應僅僅著眼于技能的形成，而應探討并努力實踐如何將"基本技能"變成發展學生各種"過程能力"(如探究、推理、交流等)的基礎。因此，我們必須重視學生在理解算理的基礎上構建算法的過程。相關的研究表明，算法是自動化的，即使在不知道其背后原理的情況下，仍可以掌握和使用。這就十分清楚地揭示了曾經的計算教學中，我們并不十分重視學生對算理的理解，而學生仍然可以經過反復操練掌握和使用算法的原因。對這一問題的認識提供給我們的啟示是：學生需要掌握算法，但更需要經歷構建算法的過程，實現算理和算法的內在統一。

算理是計算的理論依據，其內涵包括數和運算的意義，運算的規律和性質，解決的是為什么這樣算的問題。算法是計算的方法，其內涵是由已知推出未知的程序，解決的是怎樣算的問題。算法是一種經過壓縮的、一般化的計算程序。算理為計算提供了正確可靠的思維過程，而算法則為計算提供了方便快捷的操作方法，是計算經驗的積累。因此，在計算過程中，算理和算法是內在地聯系在一起的。

在小學階段，學生對于算理和算法的學習，主要體現在整數、小數和分數的口算和筆算中。口算由運算的意義便可以直接得到原始的算法。如，3×4表示的意義是3個4或4個3相加，因此其結果就可以通過加法算出來。筆算的算理和口算基本一致，但算法往往需要經歷由"原始"到簡潔的規范過程，并且稍復雜的筆算的算理與算法都是在簡單筆算基礎上的延伸與發展。小數四則計算與整數聯系緊密，其中加減法的算理和算法可以由整數類推得到，而乘除法則需要利用運算的規律轉化成整數乘除法。分數加減法的算理與算法可以由整小數加減法類推；分數乘除法的算理即是分數乘除法的意義，但其算法的構建卻不能直接由整小數的算法遷移而來，因此更具創造性，而且分數除法的算法是需要轉化成分數乘法的。江蘇教育版小學數學課程標準教材著眼于數學知識本身的結構和學生的認知規律，精心設計了引導學生理解算理、構建算法的活動線索，有意識地突出了"過程能力"的培養。

一、觀察情境圖，理解算理，構建基礎性的算法

小學階段學生的思維特點以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡。因此，在計算教學中要十分重視引導學生觀察情境圖中具體的學習對象，發現有價值的信息，為理解算理、構建算法提供直觀的幫助。

20以內的加減法和表內乘除法是學生學習計算算理和算法的開始。教材注意結合直觀的情景圖引導學生理解算理，構建基礎性的算法。以"9加幾"的教學為例，教材結合解決簡單的實際問題呈現了如下情境：

情境中的主體部分是盒子里放著9個桃，盒子外面放著4個桃。學生在觀察情境圖的基礎上可以收集有價值的信息，并列出算式9+4。之所以把9個桃和4個桃清晰地呈現出來，是為了啟發學生想到要求9+4得多少，可以采用數一數的方法。既可以從盒子里的第一個桃開始數起，把13個桃全部數完，這一數法對應了加法的基數意義，也可以從9開始，依次數完盒子外面的4個桃，數到13，這一數法對應了加法的序數意義。數一數的方法實質上與加法的意義是密切聯系在一起的，而加法的意義正揭示了9+4的算理。

基礎性的算法一般可以看作"通法"，但有些情況下卻需要對這樣的算法進行必要的改造和提升。就拿9加幾來說，雖然每道題都可以用數一數的方法算出答案，但顯然這一算法速度比較慢，因此，需要對這一算法進行優化。教師可以引導學生進一步觀察情境圖中的盒子一共有10格，放滿的話正好有10個桃，從而想到可以從4個桃中拿1個放入盒子中，把9個桃湊成10個，再加上外面的3個桃，一共有13個桃。這里，情境圖中的盒子又是一個非常有效的原型，啟發學生想到更簡捷、更具一般意義的"湊十法"。因為"湊十法"體現了"滿十進一"的計數規則，所以它又成為后繼相關計算中的重要策略。從這一計算內容的學習中，學生也能初步感受到算法是多樣的、靈活的。

二、激活已有知識，理解算理，構建一般性的算法

數學學習總是循序漸進、螺旋上升的。先前的學習是后繼學習的基礎。教師在教學新的計算內容時，應注意激活學生已有的知識，并靈活運用這些知識幫助理解算理，實現對算法的構建。

在口算學習的基礎上，學生逐步學習簡單筆算的算理與算法。而簡單筆算的算法往往需要經歷由"原始"走向簡潔的規范過程，在已有知識的基礎上構建一般性的算法。教學兩位數乘一位數的筆算，教材呈現了如下解決簡單實際問題的情境：

要求2只猴一共采了多少個桃，算式是14×2。情境圖中直觀地呈現了每只猴采的桃10個放在一筐，4個放在另一筐。這樣的呈現方式能夠啟發學生利用已有的知識理解算理。學生在觀察情境圖后容易想到，要求14×2得多少，可以用14+14，也可以先算2個10是20，2個4是8，再把20和8合起來。這兩種算法本質上是相同的，而后面的思考過程更具體地揭示了14×2的算理。在此基礎上，學生聯系豎式的寫法和已有的計算過程，容易得到并理解以下"原始"的算法(如左下圖)：

方框里的兩個箭頭顯示了計算14×2的兩個步驟，用2依次去乘14個位上的4和十位上的1；省略號及紅色部分的算式則具體地解釋每一步的結果是如何算得的。特別是2乘十位上的1所得的結果是20，以暗紅色的0突出2寫在十位的意義。在引導學生明確計算的步驟和每一步所得的結果后，可以允許學生用這一"原始"的方法進行適當的鞏固練習，以幫助學生真正掌握兩位數乘一位數的算理與算法。在此基礎上，再簡化成規范的豎式(如右上圖)。事實上，在這一計算內容的教學中，算理的理解對算法的構建起到了支撐性的作用。

三、遷移運用經驗，理解算理，構建發展性的算法

計算內容之間的聯系十分緊密，一般因為數位增加、進位或退位等情況的出現而逐漸增加復雜程度。但基本的算理和算法卻可以由數位較少的計算遷移到數位較多的計算中，由不進位、不退位等的計算遷移到需要進位、退位等的計算中。教師應注意把握教材計算內容的結構序列，找準新的計算內容的發展點，有效地促進已有計算經驗的遷移，構建發展性的算法。

兩位數乘兩位數的筆算是在兩位數乘一位數的基礎上進行教學的。教材提供的問題情境是：訂一份牛奶(每天一瓶)，全月28元，訂一份牛奶一年要花多少元?教材先鼓勵學生進行估算，或將這一新的計算轉化成已有的計算解決問題，然后給出豎式計算的第一步，讓學生試一試如何用豎式計算。

因為兩位數乘一位數的計算是學生已有的經驗，因此，大多數學生是可以完成第一步計算的。這一新知的發展點在于接下來該算什么，算得的積是多少，寫在哪里。而這也是教學的著力點。

兩位數除以一位數首位除后有余數是在首位除后沒有余數的基礎上學習的。教材在學生把5筒帶2個羽毛球平均分成2份的操作之后，引導學生完成豎式計算：

學生按照已有的計算經驗嘗試筆算，一般會遇到的困難是商2后余下1怎么辦。教材用紅色方框提示學生要把個位的2移下來，和十位余下的1合起來繼續除。結合操作和提示，學生就容易跨越新的計算的發展點。

四、借助直觀操作，理解算理，構建創造性的算法

直觀操作是數學教學的有效手段。在計算教學中，直觀操作不僅能有效地改變教師講解、學生接受的教與學的方式，而且能將抽象的算理形象地顯現出來，為算法的構建提供原型支撐，對學生理解算理、構建創造性的算法具有重要的意義。

分數乘除法的教學需要聯系乘除運算的意義進行算法的"再創造"，其算法探索的過程更具探索性和挑戰性。以整數除以分數的教學為例，教材安排了2道例題引導學生經歷理解算理、探索算法的過程。例2的問題情境是，幼兒園李老師把4個同樣大的橙子分給小朋友。依次讓學生解決三個問題：

學生對整數除以分數的算理的學習是從第(1)個問題開始的，在由問題(1)向問題(2)、(3)的過渡中，可以自然實現整數除法的意義向整數除以分數的遷移，而這正是整數除以分數的算理。問題(2)開始了對整數除以分數的算法探索。教材的設計注意以直觀的操作結果啟發學生發現4÷1/2和4×2之間的聯系。在學生初步感悟分數除以整數與乘法之間的聯系后，教材引導學生在圖形中分一分，經歷平均分的操作活動，利用直觀的操作結果發現4÷1/3=4×3，4÷1/4=4×4。在此，教材又非常明確地提示學生思考"所乘的數與除數有什么關系"，進一步明確整數除以分數的算法。由于這里涉及的分數都是單位分數，因此，教材又通過例3呈現除數是2/3的非分數單位的除法，啟發學生聯系上面的計算經驗，發現仍然可以把除以2/3轉化成乘3/2來計算。至此，教材引導學生觀察上面幾道算式的計算過程，水到渠成地歸納整數除以分數的一般計算方法。上述內容的安排，體現了算理的遷移過程，突出了如何順應學生的認知規律，引導學生在理解算理的基礎上發現算法的過程。

在引導學生理解算理、構建算法的過程中，教師還應該注意以下幾個問題：

第一，夯實數的意義和運算意義的教學。數和運算的意義構成了算理的重要內容，其中數的位值概念對算理的教學尤其重要。比如，學生都知道400×2的結果等于800，但有的學生只是從形式上看到400后面有2個0，所以8后面也要寫2個0，而數的位值概念清晰的學生則很清楚地知道400表示的是4個百，乘2后當然得到8個百。

第二，發揮表象操作在算法構建過程的作用。一般來說，學生的認知需要經歷行為表征-表象表征-符號表征這三個階段。在由直觀操作過渡到一般算法的過程中，需要重視表象操作這一中間環節。所謂表象操作，就是在具體實物操作的基礎上，教師引導學生聯系實物操作的方法和過程，在頭腦中進行類似的操作。這樣可以幫助學生擺脫具體實物的束縛，更好地構建比較抽象的算法。如果跳過這一環節，學生的算法構建容易與直觀操作相脫節。同時，在算法構建的過程中，一方面要以表象操作的經驗推進算法的建構；另一方面，也要重視由抽象的算法向表象操作的"反攻"，以幫助學生真正在理解算理的基礎上構建算法。

第三，逐步實現算法的結構化。重視某一類型知識的結構能夠使我們把握其中的關鍵原理，便于記憶和有效地遷移，而且能夠縮短知識層次間的距離。在教學時，教師要重視引導學生通過交流，把握具體算理和算法的本質內容。教師應具備對學生語言表達"模糊性"的承受力，并允許學生一開始結合實例進行描述，在把握要點的基礎上逐步實現表達的準確、簡練。在某一類型的計算教學完成之后，教師還應注意引導學生對相關的計算進行整理，提取關鍵原理，溝通聯系，以幫助學生完善相應的認知結構。

參考文獻

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