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數形結合思想在教學中的應用論文
《新課標》明確規定“初中數學的基礎知識主要指代數、幾何中的概念、法則性質、公理、定理以及由此內容反映出來的數學思想和方法”。可以看出，把數學思想作為基礎知識的范疇是過去大綱所沒有的，它既是我國數學教育多年研究的成果，也充分反映了數學思想的重要性。數學是一門思維的科學，培養學生的思維能力是數學科學的核心，而數學思想方法是對數學內容及其所使用方法本質的認識，在培養能力方面起著不可替代的作用，可以說是提高學生思維品質和能力最重要的途徑。若學生在學習中能將抽象的數學語言與直觀的圖形符號結合起來，把抽象思維與形象思維結合起來，能用代數的方法去研究幾何問題，會根據圖形的性質及幾何知識去處理代數問題，對培養學生數學思想和方法，對解決數學問題有很重要的作用。
１ 對“數形結合”概念的理解
初中北師大版教材中數形結合的內容，不完全統計達到214處，可以看出數形結合思想在初中數學教學中占據的地位，對于學生來說，到高中將是不自覺的應用過程，數學中大量數的問題后面隱含著形的信息，圖形的特征也體現著數的關系，我們將抽象復雜的數量關系通過形的形象直接揭示出來，以達到“形幫數”的目的，同時我們又要運用數的規律，數值的計算來尋找處理性的方法，達到“數促形”的目的。
在數學思維過程中，邏輯思維是核心，形象思維是先導，但具體的數學思維過程往往是兩者交叉運用，濃縮升華的過程。這就要求我們在教學中重視數形結合的數學思想滲透的目的，讓學生邏輯思維和形象都得到提高。
２ 利用“形解數”的數形結合
2.1 數形結合在解不等式中的應用。在七年級教材（北師大版）第二章講有理數及其運算時，引入數軸，這是點和數的一種對應，就是數形結合思想的體現，“數軸上的點”和“點所表示的數”是兩個不同的概念，前者是圖，后者是數，不等式解集可在數軸上表示出來，用數形結合比較形象直觀，尤其是在解不等式組時，可將幾個不等式解集表示在同一數軸上，這樣就容易求出解集的公共部分，即不等式組的解集，舉例如下：
例1：解不等式組
解：由（1）得x>1/3，解（2）得ｘ＜６，在同一數軸上表示（１）、（２）的解集 ∴原不等式組的解集為：1/3<ｘ<６
2.2 數形結合在方程中的應用。二元一次方程圖像解中也滲透了有關數形結合的思想，利用它可以使我們解題時直觀明了。
例2：解方程組x-ｙ＝５ （１）ｙ＝3－x （２）
分析與解：由（１）得ｙ＝ｘ－５在同一坐標系中作直線ｙ１＝ｘ－５及直線ｙ２＝３－ｘ的圖像，有圖像很直觀，可得直線ｙ１與直線ｙ２交點Ｐ（４，-１）的橫坐標、縱坐標分別為ｘ、ｙ的值，所以方程的解為x＝4ｙ＝-1，當然這種做法的準確性依賴于作圖的準確性，一般情況不太用。一元二次方程中有關根的問題同樣與圖像有密切關系。
例3：如果方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５＝０兩實根的大小在方程ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７＝０兩實根之間，試求ａ的取值范圍。
分析：如果聯想到一元二次方程與二次函數之間的關系，有函數ｙ１＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２－ａ＋５與ｙ２＝ｘ２＋２ａｘ＋ａ２＋ａ－７的圖像開口向上，且形狀相同，又有公共對稱軸的兩條拋物線。做草圖如下：
這樣把問題歸結為兩條拋物線頂點的縱坐標間關系問題，圖像已清楚反映出來。同時要考慮頂點與ｘ軸的位置關系，滿足題設條件是拋物線ｙ１的頂點縱坐標不小于等于零且大于拋物線ｙ２的頂點坐標。即-ａ+5≤０－ａ＋５>ａ-7解得５a＜６
３ 數形結合在函數問題中的應用
函數與平面圖形的對應，建立一次函數ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠0）中ｋ、ｂ的值與圖像的相互對應關系，即ｋ＞０、ｂ＞０或ｋ＞０、ｂ＜０或ｋ＜０、ｂ＞０或ｋ＜０、ｂ＜０分別與圖像的對應關系，二次函數ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠0），ａ、ｂ、ｃ與圖像的相互對應關系，即ａ、ｂ、ｃ的正負分別與圖像的對應關系，都是數形結合的具體化。 例4：已知拋物線ｙ＝１２ｘ２＋pｘ＋q（ｐ≠0）與直線ｙ＝ｘ交于兩點Ａ、Ｂ，與ｙ軸交于點Ｃ且ＯＡ＝ＯＢ，ＢＣ//x軸，求p、q的值。
分析：我們可依已知條件作草圖，由直線的解析式y=x得出A、B兩點的橫、縱坐標相等，由此可以先設：點A坐標（t、t），點A與點B是否在一個象限呢？它們之間又有什么關系呢？再看條件“OA=OB”說明是兩條線段的長度相等。但我們結合圖形轉化成幾何語言，就是“點A、B關于原點對稱”，那么剛才的一個小問題解決了，可以得點B的坐標為（-t、-t），但現在C點坐標還沒有用t表示出來，能否找到相互的關系，“BC//x軸”迫使我們去結合圖形來觀察“B點、C點縱坐標相等”，那么點C坐標為（0、-t），有了A點、B點、C點的坐標，必然可以求出p、q的值。
已知條件盡管較多，卻無從下手，這就迫使我們去觀察所作的圖形，可圖形中又只有拋物線、直線一些線段等，令人感到山窮水盡，現在如果我們把已知條件和圖形結合起來挖掘了一些隱藏在已知條件背后的圖形特征，必然是柳暗花明又一村。
４ 利用“數解形”的數形結合
數形結合中的數，除了指實數外，還泛指代數式、等式、不等式、方程、函數及運算等，借助運算也可把復雜幾何問題代數化，輕易解決它。
例5：如過等腰三角形一個頂點做一條直線，將它分成兩個小的等腰三角形，求這個等腰三角形的各內角。
分析：在這里沒有明確這個等腰三角形是銳角、鈍角還是直角，所以我們要把各種情況都考慮進去，這樣又用到了分類討論的數學思想，但每一步總是以圖形為依托用代數求解幾何問題。
如圖（1）分別為90°、45°、45°
如圖（2）AB=BD、AD=CD，設∠Ａ＝a、∠B=∠C=β∴∠BDA=2β∴a+2β=180°∴a=180°、β=36°
如圖（3）AD=CD=BC、∠Ａ＝a、∠B=∠C=β、a+2β=180°、2a=β∴a=36°、β=72°
例6：如圖，過正方形ABCD的頂點C任做一條直線與AB、AD的延長線分別交于E、F。求證：AE+AF≥4AB
分析：這是“形”的問題，但要直接從形入手較難，引導學生將結論變為：（AE+AF）2-4AB（AE+AF）≥０從形式上看，聯想一元二次方程的判別式，從而把“形”轉化為“數”的問題來解決就容易了。
證明：設AB=a，AE=m，AF=n，連接AC
則S△AEF=S△AFC+S△AEC即1/2mn=1/2am+1/2an∴mn=a（m＋n），設m+n=p則mn=ap這時又可以聯想一元二次方程根與系數關系，可以把m、n看作是方程x2-px+ap=0的兩根，而m、n為兩線斷的長，應為實數，故此一元二次方程有實數根。即△=p2-4ap≥0，又∵p>0（m、n為線段長度）∴p>4a∴m+n>4a即AE+AF≥4AB。這道題完全體現了“數幫形”的作用，給學生有耳目一新的作用。
總之，揭示問題的本質，用“數”準確澄清“形”的模糊，用“形”直觀啟迪“數”的運算，解題過程使形和數各展其長，相輔相成，達到完美的統一。
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