一元二次不等式的解法導學案

一元二次不等式的解法導學案

一元二次不等式解法中蘊含的數學思想方法

　　——《一元二次不等式的解法》導學案

　　邵麗云

　　內容分析：

　　一元二次不等式的解法是在初中學習了一元一次不等式、一元一次不等式組后而學習的內容。一元二次不等式的解法是研究函數的重要工具，是高中數學的重要內容，也是高考常考的內容。一元二次不等式的解溝通了三個“二次”即一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的聯系，蘊含諸多重要的數學思想方法，如數形結合，函數方程，分類討論，轉化化歸等重要的思想方法。本節主要是通過不等式的解法教學，讓學生了解、掌握一些重要的思想和方法

　　學習目標：

　　1.經歷探索一元二次不等式求解的推理過程，會解一元二次不等式。

　　2.找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數之間的內在聯系。

　　3.體悟數形結合、函數方程、分類討論、轉化和化歸等數學思想與方法。

　　學習重點：

　　一元二次不等式的解法。

　　學習難點：

　　一元二次不等式的解法的分類討論。

　　學習關鍵：

　　找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數之間的關系。

　　學習過程：

　　環節1：設疑導思

　　設疑：當x取什么值的時候，2x-7的值)等于0；大于0；小于0。

　　思考：可以用幾種方法求解上題？

　　提出問題：類比上述圖象解法，能否解決不等式x2-x-6＞0，x2-x-6＜0？

　　如何解決？

　　(學生獨立完成，一名學生板)

　　觀察黑板上圖象可得：當x＜-2或x＞3時，x2-x-6＞0。

　　當-2＜x＜3時，x2-x-6＜0。

　　【設計意圖：揭示一元二次函數和一元二次方程、一元二次不等式之間的內在聯系，滲透數學結合,函數方程思想方法。】

　　環節2：探究方法

　　問題1：怎樣確定一元二次不等式ax2+bx+c＞0與ax2+bx+c＜0的解集？

　　組織討論：

　　思考方向：(1)確定一元二次不等式的解的關鍵是什么？

　　(2)有根的前提下，兩根之內還是兩根之外由什么決定？

　　解題策略：使a值為正，求得兩根，“＞”則兩根之外；“＜”則兩根之內。

　　【設計意圖：歸納方法，滲透由特殊到一般的思想方法。】

　　從上例出發，結合學生的回答結果，歸納出一元二次不等式解法，

　　老師引導，學生總結：

　　①拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關位置，由二次方程ax2+bx+c=0根的判別式△=b2-4ac的情況確定，分△＞0、△=0、△＜0三種情況。

　　②a＜0可轉化為a＞0。

　　黑板顯示出：三個二次之間的關系 由學生填空.并歸納解一元二次不等式的步驟(學生總結，教師歸納補充)：

　　①化二次項系數a為正；

　　②求△；

　　③解對應的一元二次方程；

　　④最后求解出一元二次不等式。

　　環節3：運用鞏固

　　[例1] 解下列不等式：

　　(1) x2＋8x＋15＞0 (2)－x2－3x＋4＞0 (3) 2x2－1＜x2＋4x－2

　　(4) －x2＋2x＞1 (5) x2＋2x＋3＞0 (6) x2－2x＋5＜0

　　解題反思：你覺得在解一元二次不等式過程中有哪些注意點？

　　【設計意圖：熟練掌握方法，注意數形結合，函數方程等思想方法的應用。】

　　環節4：深化拓展

　　問題2：能否寫出一個解集為(－2，1)的一元二次不等式？這樣的不等式有幾個？能給出一個一般的形式么？（學生交流討論）

　　[例2]若不等式2x2－ax＋b＞0的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a、b值。

　　【設計意圖：體悟轉化化歸思想，函數方程，數形結合的數學思想方法。】

　　問題3：會解含參數的不等式嗎？

　　[例3] 解關于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。

　　反思：(1) 引起討論的原因是什么？

　　(2) 如何進行討論？

　　[例4] 解關于x的不等式：x2－(m＋2)x＋2m＜0。

　　反思：(1) 引起討論的原因是什么？

　　(2) 如何進行討論？

　　[例5] 解關于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0。

　　反思：(1) 引起討論的原因是什么？

　　(2)如何進行討論？

　　第一層次：一次不等式還是二次不等式的不確定性，對m≠0與m＝0進行討論。

　　第二層次：x2前系數正負(不等號方向)的不確定性，對m＜0與m＞0進行討論。

　　第三層次： 與1大小的不確定性，對m＜1、m＞1與m＝1進行討論。

　　[例6] k為何值時，關于x的一元二次不等式x2＋(k－1)x＋4＞0的解集為(－∞，∞)？

　　變式1：k為何值時，關于x的一元二次不等式(k＋1)x2－2x＋k＋1＞0的解集為(－∞，∞)？

　　變式2：k為何值時，關于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x＋2＞0的解集為

　　(－∞，∞)？

　　【設計意圖：加深對不等式解的理解，滲透分類討論、數形結合的思想方法。】

　　環節5：總結提升

　　請從知識、思想方法等方面談談你的收獲？

　　體悟數學思想 活用數學方法

　　一、在優化內容時注重數學思想方法的挖掘

　　（一）明確學習內容標準，挖掘教材蘊含的數學思想方法。

　　（二）從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。

　　二、在課堂教學中注重數學思想方法的體悟

　　（一）探索“方法”，感悟“思想”。

　　（二）形成“方法”，理解“思想”。

　　（三）運用 “方法”，內化“思想”。

　　（四）提煉“方法”，完善“思想”。

　　三、在學業評價中注重數學思想方法的考評

　　（一）函數方程思想方法

　　（二）數形結合思想方法

　　（三）轉化化歸思想方法

　　（四）分類討論思想方法

　　（五）特殊與一般思想方法等

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