《高等數學》第一章 課程教案

《高等數學》第一章 課程教案

《高等數學》第一章 課程教案 一． 課程名稱：高等數學 \Calculus 二． 學時與學分：72學時4學分 三． 適用專業：教育技術，計算機，人體，康復 四． 課程教材：《高等數學》，第四版. 同濟大學數學教研室編，高等教育出版社 五． 上課教師：劉蓉老師 六． 課程的性質、目的和任務：高等數學是工科大學生最重要的基礎理論課之一，它作為工程教育中的一個重要內容，目的在于培養工程技術人員必備的基本數學素質。任務：通過本課程的學習，使學生理解微積分中極限、導數、積分等基本概念；掌握基本的運算技巧；使學生能用所學的知識去解決各種領域中的一些實際問題；訓練學生數學推理的嚴密性，使學生具有一定的數學修養和對實際問題具有抽象、歸納、推廣的能力，能用數學的語言描述各種概念和現象，能理解其它學科中所用的數學理論和方法；培養學生學習數學的興趣，幫助學生養成自學數學教材和其它數學知識的能力，為以后學習其它學科打下良好的基礎。 七、教學方式（手段）：主要采用講授新課的方式   第一章 函數極限與連續 一、教學目標與基本要求 1、理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值。會求分段函數的定義域、函數值，并會作出簡單的分段函數圖像，掌握函數的表示方法。 2、了解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。 3、理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。 4、掌握基本初等函數的性質及其圖形。 5、會建立簡單應用問題中的函數關系式。 6、理解極限的概念，理解函數在極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。 7、掌握極限的性質及四則運算法則。 8、掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。 9、理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。 10、理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。 11、了解連續函數的性質和初等函數的連續性，了解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會應用這些性質。 二、教學內容及學時分配： 第一節 映射與函數2課時 第二節 數列的極限2課時 第三節 函數的極限4課時 第四節 無窮小與無窮大 2課時 第五節 極限運算法則 2課時 第六節 極限存在準則兩個重要極限2課時 第七節 無窮小的比較 1課時 第七節 函數的連續性與間斷點1課時 第八節 連續函數的運算與初等函數的連續性1課時 第九節 閉區間上連續函數的性質 2課時 三、教學內容的重點及難點： 1．數列的極限、函數的極限的概念 2．極限的性質及四則運算法則； 3．極限存在的兩個準則，利用兩個重要極限求極限； 4．無窮小的比較，用等價無窮小求極限； 5．閉區間上連續函數的性質。 四、教學內容的深化和拓寬： 1．數列極限的的深刻背景，函數極限的幾何意義； 2．兩個重要極限、等價無窮小的應用； 3．極限與無窮小的關系； 4．連續的實質，閉區間上連續函數的性質，用介值定理推證一些簡單命題。 五、思考題與習題 第一節 P216 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ;18; 19; 20 第二節 P30 3 (2) , (3) ,4,6 ；P56 4 (1) , (3) 第三節 P371(4) ;2(2) ;5 ;6 ;7 ;9  第四節 P412 (1) , (2);7 第五節 P48 1 （5），（7），（9），（12），（14）； 2 （1），（3） 3 （1）； 4  第六節 P55  1(4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5) 第七節 P59 3 ;4 (2) , (3) , (4); 5 (3) 第七節 P64 3 ;4 第八節 P683(5) ,(6) ,(7) ; 4 (4) , (5),(6) ; 5 第九節 P73 2 ;3;4 六、教學方式（手段） 本章主要采用講授新課的方式。 第一節映射與函數 一、內容要點 基本概念 集合, 區間, 鄰域, 常量與變量, 絕對值. 函數的概念 函數的特性:有界性,單調性,奇偶性,周期性. 反函數,復合函數,基本初等函數與初等函數 二、教學要求和注意點 本部分屬基本概念，對其中的每一個定義都應加以仔細推敲，透徹理解和牢固其精神實質，從而為學習本課程奠定好基礎。 從實際問題建立變量之間的關系是數學應用與實際問題的第一步，也是比較困難的一步，要注意這方面的訓練，以便逐步培養分析問題解決問題的能力。   第二節數列的極限  一、內容要點 （1）數列，數列極限的定義； （2）收斂的性質：極限的唯一性、收斂數列的有界性、收斂數列的保號性、收斂數列與其子列的關系。 二、教學要求和注意點 數列:研究其變化規律; 數列極限:極限思想、精確定義、幾何意義; 收斂數列的性質:有界性、唯一性、子數列的收斂性. 極限理論是高等數學的理論基礎。極限概念比較抽象而且嚴謹，既是學習中的重點也是學習中的難點。因此要逐字逐句地推敲務求領會它的精神實質。   第三節 函數的極限 一、內容要點 1． 函數極限的定義：趨于有限值與無窮、單側極限； 2． 函數極限的性質：唯一性、局部保號性、函數極限與數列極限的關系； 二、教學要求和注意點 極限概念比較抽象而且嚴謹，既是學習中的重點也是學習中的難點。因此要逐字逐句地推敲務求領會它的精神實質。同時還要注意與數列極限的定義與性質加以區別。   第四節 無窮小與無窮大 一、內容要點 1．無窮小、無窮小與函數極限的關系 2．無窮大、無窮小與無窮大之間的關系 二、教學要求和注意點 教學要求： 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量與無窮大量的關系 教學注意點： 無窮小與無窮大是相對于過程而言的. （1） 無窮小（ 大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數； （2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小； （3） 無界變量未必是無窮大.   第五節 極限運算法則 一、內容要點 1. 無窮小的運算法則 2. 極限的四則運算法則 3. 復合函數的極限運算法則 二、教學要求和注意點 教學要求： 熟練掌握無窮小的運算法則, 極限的四則運算法則及其推論, 復合函數的極限運算法則,極限求法: a.多項式與分式函數代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運算性質求極限; e.利用左右極限求分段函數極限. 教學注意點： 要注意定理的條件與結論,要注意定理的條件的充分與必要性等.   第六節 極限存在準則、兩個重要極限 一、內容要點 1. 極限存在準則：單調有解原理，夾逼定理 2. 兩個重要極限 二、教學要求和注意點 熟練掌握利兩個重要極限求極限的方法   第七節無窮小的比較 一、內容要點 1. 無窮小的比 2. 等價無窮小替換 二、教學要求和注意點 無窮小的比較，反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較. 高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階. 等價無窮小的代換: 求極限的又一種方法,注意適用條件.   第八節 函數的連續與間斷 一、內容要點 1. 函數的連續性 2. 函數的間斷點 二、教學要求和注意點 1.函數在一點連續必須滿足的三個條件; 2.區間上的連續函數; 3.間斷點的分類與判別;   第九節 連續函數的運算與初等函數的連續性 一、內容要點 1. 四則運算的連續性 2. 反函數與復合函數的連續性 3. 初等函數的連續性 二、教學要求和注意點 1. 復合函數的連續性的兩個意義： （1）極限符號可以與函數符號互換; （2） 課程教案 TITLE=《高等數學》第一章  2. 初等函數僅在其定義區間內連續, 在其定義域內不一定連續;（定義區間與定義域的區別） 3. 初等函數求極限的方法代入法   第十節 閉區間上連續函數的性質   一、內容要點 本節主要講四個定理： 最大值和最小值定理、有界性定理、介值定理（幾何解釋）以及零點定理。 二、教學要求和注意點 注意:1.若區間是開區間,定理不一定成立; 2.若區間內有間斷點,定理不一定成立  

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